Calcolo MCD e mcm
Massimo comune divisore, minimo comune multiplo e i fattori primi da cui nascono.
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Esempio
MCD e mcm di 24, 36 e 60, con un problema da risolvere
Problema: tre nastri lunghi 24, 36 e 60 cm vanno tagliati in pezzi uguali, i più lunghi possibile; tre autobus partono ogni 24, 36 e 60 minuti. Scrivi «24 36 60» nella casella.
- Scomposizione: 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3², 60 = 2² × 3 × 5.
- MCD: i fattori comuni con l’esponente minore, 2² × 3 = 12. mcm: tutti i fattori con l’esponente maggiore, 2³ × 3² × 5 = 360.
- La tabella delle divisioni divide i tre numeri insieme per 2, 2, 2, 3, 3, 5; i primi segnati con * (2, 2, 3) dividono tutti e tre: il loro prodotto è il MCD.
| Numeri | MCD | mcm |
|---|---|---|
| 24 36 60 | 12 | 360 |
| 12 18 | 6 | 36 |
| 84 120 | 12 | 840 |
| 12 15 20 | 1 | 60 |
I nastri si tagliano in pezzi da 12 cm, i più lunghi possibile; gli autobus ripartono insieme dopo 360 minuti, cioè 6 ore. Con due numeri la pagina mostra anche l’algoritmo di Euclide e la verifica MCD × mcm = prodotto.
Come funziona
- Scrivi due o più numeri interi su una riga, separati da spazi o virgole; un numero da solo viene scomposto in fattori primi.
- Metti ogni esercizio su una riga per svolgerne più di uno insieme.
- Prima compaiono MCD e mcm, poi la scomposizione di ogni numero, la tabella delle divisioni e, con due numeri, l’algoritmo di Euclide e la verifica.
Domande frequenti
- Come si calcolano MCD e mcm con la scomposizione in fattori primi?
- Si scompone ogni numero: 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3². Il MCD è il prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta con l’esponente minore: 2 × 3 = 6. Il mcm è il prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta con l’esponente maggiore: 2² × 3² = 36.
- Come si legge la tabella delle divisioni?
- I numeri si dividono insieme per i numeri primi, riga dopo riga, finché restano tutti 1. I primi segnati con * dividono tutti i numeri: il loro prodotto è il MCD. Il prodotto di tutti i primi della colonna è il mcm.
- Che cos’è l’algoritmo di Euclide?
- Si divide il numero maggiore per il minore e si tiene il resto; poi si divide il minore per quel resto, e così via. L’ultimo resto diverso da zero è il MCD: 18 = 1 × 12 + 6, 12 = 2 × 6 + 0, quindi MCD(12, 18) = 6.
- Che cosa succede se i numeri non hanno fattori comuni?
- Il MCD è 1 e i numeri si dicono primi tra loro: 12, 15 e 20 non hanno un primo che li divida tutti, quindi MCD = 1, mentre il mcm è 2² × 3 × 5 = 60.
- Quanti numeri posso inserire?
- Fino a dieci numeri interi, ognuno fino a 1.000.000.000.000, separati da spazi o virgole. L’algoritmo di Euclide e la verifica compaiono quando i numeri sono due.
- A che cosa servono MCD e mcm?
- Il mcm dei denominatori è il minimo comune denominatore per sommare le frazioni; il MCD serve a ridurle ai minimi termini. Nei problemi, il MCD divide in gruppi uguali più grandi possibile, il mcm dice quando due cicli tornano a coincidere.
- Viene inviato qualcosa?
- No. Tutto avviene nel tuo browser, e niente di quello che scrivi lascia il tuo computer.
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