Calcul du PGCD et du PPCM
Le plus grand diviseur commun, le plus petit multiple commun, et les nombres premiers qui les donnent.
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Exemple
Exemple : 90 macarons au chocolat et 150 à la framboise, en boîtes identiques
Un problème classique de collège : un pâtissier veut répartir 90 macarons au chocolat et 150 à la framboise dans le plus grand nombre possible de boîtes identiques, sans qu’il en reste. Tapez « 90 150 » dans la case.
- Décomposition : 90 = 2 × 3² × 5 et 150 = 2 × 3 × 5². Le PGCD prend les facteurs communs avec le plus petit exposant : 2 × 3 × 5 = 30.
- Algorithme d’Euclide : 150 = 1 × 90 + 60, puis 90 = 1 × 60 + 30, puis 60 = 2 × 30 + 0. Le dernier reste non nul est 30.
- PPCM : 2 × 3² × 5² = 450, et la vérification 30 × 450 = 90 × 150 = 13 500.
| Nombres | PGCD | PPCM |
|---|---|---|
| 90 150 | 30 | 450 |
| 126 210 | 42 | 630 |
| 8 12 18 | 2 | 72 |
| 45 60 75 | 15 | 900 |
30 boîtes au plus, chacune avec 3 macarons au chocolat (90 ÷ 30) et 5 à la framboise (150 ÷ 30). Le PPCM sert quand des cycles doivent coïncider, ou pour mettre 7/90 + 11/150 au même dénominateur : 450.
Comment ça marche
- Tapez deux nombres entiers ou plus sur une ligne, séparés par des espaces ou des virgules — ou un seul nombre pour le décomposer en facteurs premiers.
- Un problème par ligne : jusqu’à vingt à la fois.
- Le PGCD et le PPCM s’affichent d’abord, puis la décomposition en facteurs premiers, le tableau de divisions et, pour deux nombres, l’algorithme d’Euclide et la vérification.
Questions fréquentes
- Comment trouver le PGCD et le PPCM par la décomposition en facteurs premiers ?
- On décompose chaque nombre : 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3². Le PGCD prend les facteurs communs, chacun avec le plus petit exposant : 2 × 3 = 6. Le PPCM prend tous les facteurs, chacun avec le plus grand exposant : 2² × 3² = 36.
- Comment marche l’algorithme d’Euclide ?
- On divise le plus grand nombre par le plus petit et on garde le reste ; puis on divise le plus petit par ce reste, et ainsi de suite. Le PGCD est le dernier reste non nul : 18 = 1 × 12 + 6, puis 12 = 2 × 6 + 0, donc le PGCD de 12 et 18 est 6.
- Que veut dire « premiers entre eux » ?
- Deux nombres dont le PGCD vaut 1, comme 8 et 15 : ils n’ont aucun facteur premier en commun, et leur PPCM est leur produit, 120. Une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux est irréductible.
- À quoi servent le PGCD et le PPCM ?
- Le PGCD sert à simplifier une fraction d’un coup : 18/12, divisée par 6, donne 3/2. Le PPCM donne le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions : pour 3/4 + 5/6, c’est 12.
- PGCD ou PPCM : lequel utiliser dans un problème ?
- Le PGCD quand on partage en lots, parts ou carrés identiques, les plus grands possible ou en plus grand nombre : 90 et 150 donnent 30 boîtes. Le PPCM quand des événements qui se répètent doivent se reproduire en même temps : deux bus qui partent toutes les 12 et 18 minutes repartent ensemble au bout de 36 minutes.
- Combien de nombres peut-on taper ?
- Jusqu’à 10 nombres par ligne, chacun jusqu’à 1 000 000 000 000, et jusqu’à vingt lignes à la fois. L’algorithme d’Euclide et la vérification PGCD × PPCM s’affichent quand la ligne compte deux nombres.
- Quelque chose est-il envoyé ?
- Non. Le calcul se fait dans votre navigateur, et rien de ce que vous tapez ne quitte votre ordinateur.
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