ggT- und kgV-Rechner
Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches – und die Primfaktoren dahinter.
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Beispiel
Fliesen für den Kellerraum: ggT von 420 und 330, dazu drei kgV-Aufgaben
Ein Kellerraum misst 4,20 m × 3,30 m und soll mit möglichst großen quadratischen Fliesen ausgelegt werden, ohne eine zu schneiden. Gesucht ist der ggT der Seitenlängen, in Zentimetern, weil der Rechner ganze Zahlen braucht: „420 330“ in die erste Zeile, weitere Aufgaben jeweils in eine eigene Zeile.
- Primfaktoren: 420 = 2² · 3 · 5 · 7 und 330 = 2 · 3 · 5 · 11. Gemeinsam sind 2, 3 und 5, also ggT = 2 · 3 · 5 = 30.
- Euklidischer Algorithmus: 420 = 1 · 330 + 90, 330 = 3 · 90 + 60, 90 = 1 · 60 + 30, 60 = 2 · 30 + 0 – der letzte Rest vor der Null ist 30.
- kgV = 2² · 3 · 5 · 7 · 11 = 4.620; Probe: 30 · 4.620 = 138.600 = 420 · 330.
- Fliesen: 420 ÷ 30 = 14 und 330 ÷ 30 = 11, also 14 · 11 = 154 Fliesen zu 30 × 30 cm, rechnerisch ohne Fugen.
| Zeile | Aufgabe | ggT | kgV |
|---|---|---|---|
| 420 330 | Größte quadratische Fliese für 4,20 × 3,30 m | 30 | 4.620 |
| 12 18 | Hauptnenner von 5/12 und 7/18 | 6 | 36 |
| 15 20 25 | Drei Buslinien fahren alle 15, 20 und 25 Minuten | 5 | 300 |
| 1.000 360 | Mit Tausenderpunkt geschrieben | 40 | 9.000 |
Die größte Fliese ohne Schnitt ist 30 × 30 cm, 154 Stück. Die drei Busse fahren nach 300 Minuten, also 5 Stunden, wieder gleichzeitig ab, und 5/12 + 7/18 = 15/36 + 14/36 = 29/36 über den Hauptnenner 36. Alle Zeilen werden auf einmal berechnet.
So funktioniert es
- Geben Sie zwei oder mehr ganze Zahlen in eine Zeile ein, getrennt durch Leerzeichen oder Kommas – oder eine einzelne Zahl, um sie in Primfaktoren zu zerlegen.
- Schreiben Sie jede Aufgabe in eine eigene Zeile, dann rechnen Sie mehrere auf einmal.
- Oben stehen ggT und kgV, darunter die Primfaktorzerlegung, die Divisionstabelle und bei zwei Zahlen der euklidische Algorithmus mit Probe.
Häufige Fragen
- Wie bestimmt man ggT und kgV mit der Primfaktorzerlegung?
- Die Zahlen in Primfaktoren zerlegen: 12 = 2² · 3 und 18 = 2 · 3². Für den ggT nimmt man die gemeinsamen Primfaktoren mit dem kleineren Exponenten: 2 · 3 = 6. Für das kgV alle Primfaktoren mit dem größeren Exponenten: 2² · 3² = 36.
- Was zeigt die Divisionstabelle?
- Alle Zahlen werden nebeneinander durch Primzahlen geteilt, bis nur noch Einsen übrig sind. Die mit * markierten Primzahlen teilen alle Zahlen – ihr Produkt ist der ggT; alle Primzahlen zusammen ergeben das kgV.
- Wie funktioniert der euklidische Algorithmus?
- Die größere Zahl durch die kleinere teilen und den Rest notieren, dann die kleinere Zahl durch diesen Rest teilen und so weiter. Der letzte Rest, der nicht null ist, ist der ggT: 18 = 1 · 12 + 6, 12 = 2 · 6 + 0, also ggT = 6.
- Wofür braucht man das kgV?
- Zum Beispiel beim Bruchrechnen: Der Hauptnenner zweier Brüche ist das kgV ihrer Nenner. Außerdem gilt für zwei Zahlen immer ggT · kgV = a · b – das ist die Probe unter dem Rechenweg: 6 · 36 = 216 = 12 · 18.
- Kann ich Kommazahlen wie 4,20 eingeben?
- Nein, ggT und kgV gibt es nur für ganze Zahlen. Rechnen Sie Maße in eine kleinere Einheit um: 4,20 m und 3,30 m als 420 und 330 cm. „4,20 3,30“ erkennt der Rechner als Kommazahlen und sagt, dass nur ganze Zahlen gehen; mehrere Zahlen trennen Sie mit Leerzeichen oder mit Komma und Leerzeichen („12, 18“). Ein Punkt vor drei Ziffern ist ein Tausenderpunkt: 1.000 ist tausend.
- Wie berechne ich ggT und kgV von drei oder mehr Zahlen?
- Alle in eine Zeile, bis zu zehn Zahlen: „15 20 25“ ergibt ggT 5 und kgV 300. Primfaktorzerlegung und Divisionstabelle stehen auch dann darunter; den euklidischen Algorithmus mit Probe zeigt der Rechner nur bei genau zwei Zahlen.
- Wird etwas übertragen?
- Nein. Gerechnet wird in Ihrem Browser, und nichts von dem, was Sie eintippen, verlässt Ihren Rechner.
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