Résoudre une équation du second degré
Le discriminant et les solutions exactes, rédigés comme sur une copie.
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Exemple
Exemple : un enclos de 20 m de périmètre et de 21 m² d’aire, exercice de Première
On veut un enclos rectangulaire avec 20 m de grillage et une aire de 21 m². Si x est la longueur, la largeur vaut 10 − x, et l’aire donne x(10 − x) = 21. Développée, l’équation se tape 10x − x² = 21, sans tout passer d’un côté.
- La page remet l’équation sous la forme développée : −x² + 10x − 21 = 0, avec a = −1, b = 10, c = −21.
- Discriminant : Δ = 10² − 4 × (−1) × (−21) = 100 − 84 = 16. Δ > 0 : deux solutions.
- x = (−10 ± √16) / (−2) = (−10 ± 4) / (−2), soit x₁ = 3 et x₂ = 7. Forme factorisée : −(x − 3)(x − 7) = 0.
| Ligne de la rédaction | Ce qu’affiche la page |
|---|---|
| Forme développée | −x² + 10x − 21 = 0 |
| Discriminant | Δ = 16 |
| Solutions | x₁ = 3, x₂ = 7 |
| Vérification | x₁ + x₂ = 10 = −b/a, x₁·x₂ = 21 = c/a |
| Sommet | (5 ; 4) |
S = {3 ; 7} : l’enclos mesure 7 m sur 3 m, les deux solutions décrivant le même rectangle. Le sommet (5 ; 4) dit en plus que l’aire est la plus grande pour un carré de 5 m : 21 + 4 = 25 m².
Comment ça marche
- Tapez l’équation : x² − 5x + 6 = 0 ou 2x^2 + 3x = 2 (des termes des deux côtés, des fractions ou des décimaux sont acceptés) — ou simplement les trois nombres a b c.
- Une équation par ligne pour en résoudre plusieurs.
- Les solutions s’affichent d’abord, exactes si possible, puis la rédaction : forme développée, discriminant, formule, forme factorisée, vérification et sommet.
Questions fréquentes
- Comment calculer le discriminant ?
- Pour ax² + bx + c = 0, Δ = b² − 4ac. Pour x² − 5x + 6 = 0 : Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 1.
- Combien de solutions selon le signe de Δ ?
- Si Δ > 0, deux solutions : x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a). Si Δ = 0, une solution double : −b / (2a). Si Δ < 0, aucune solution réelle — la page donne alors les deux solutions complexes.
- Pourquoi la réponse est-elle 2 ± √3 et pas un nombre décimal ?
- Parce que c’est la valeur exacte, celle qu’on attend sur une copie. La racine est simplifiée (√12 = 2√3) et les valeurs approchées sont données à côté : 0,267949 et 3,732051.
- Et si a = 0 ?
- Ce n’est plus une équation du second degré mais du premier degré, et la page la résout comme telle : 2x − 4 = 0 donne x = 2.
- Puis-je taper x(10 − x) = 21 ?
- Oui : les parenthèses sont développées, x(10 − x) = 21 devient −x² + 10x − 21 = 0 et donne x = 3 et x = 7. Des termes des deux côtés, des fractions et des décimaux à virgule sont acceptés : 0,5x² + x − 1,5 = 0 est multipliée par 2, x² + 2x − 3 = 0, et donne x = −3 et x = 1.
- L’inconnue peut-elle s’appeler t ?
- Oui, si l’équation n’a qu’une lettre : elle est prise comme inconnue et notée x dans le calcul. −5t² + 20t + 25 = 0 donne t = −1 et t = 5 (écrits x₁ et x₂). Tapez-la sans « h(t) = » devant, ou tapez les trois coefficients : −5 20 25.
- Quelque chose est-il envoyé ?
- Non. Le calcul se fait dans votre navigateur, et rien de ce que vous tapez ne quitte votre ordinateur.
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