Quadratische Gleichungen lösen
pq-Formel oder Mitternachtsformel, Schritt für Schritt bis zur exakten Lösung.
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Beispiel
Beispiel: Zahlenrätsel – zwei aufeinanderfolgende Zahlen mit dem Produkt 156
Eine typische Aufgabe aus Klasse 9: „Das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 156. Wie heißen die Zahlen?“ Mit x für die kleinere Zahl gilt x · (x + 1) = 156. So eintippen: x(x+1) = 156 – der Rechner multipliziert aus und bringt alles auf eine Seite.
- Allgemeine Form: x² + x − 156 = 0, also a = 1, b = 1, c = −156. Weil vor dem x² nichts steht, nimmt „Automatisch“ die pq-Formel mit p = 1 und q = −156.
- D = (p/2)² − q = 1/4 + 156 = 625/4. Der Rechner rechnet mit Brüchen statt mit 0,25: x₁,₂ = −1/2 ± √(625/4) = −1/2 ± 25/2.
- Also x₁ = −13 und x₂ = 12, dazu die Linearfaktoren (x + 13)(x − 12) = 0 und die Probe mit dem Satz von Vieta: −13 + 12 = −1 = −b/a und −13 · 12 = −156 = c/a.
- Mit „Mitternachtsformel“ steht stattdessen D = 1² − 4·1·(−156) = 625 und x = (−1 ± 25) / 2 da – dieselben Lösungen.
| Eingabe | Rechenweg (Automatisch) | Lösungen |
|---|---|---|
| x(x+1) = 156 | pq-Formel, D = 625/4 | x₁ = −13, x₂ = 12 |
| 2x^2 - 8x - 10 = 0 | Mitternachtsformel, D = 144 | x₁ = −1, x₂ = 5 |
| 0,5x^2 + 1,5x - 2 = 0 | mit 2 multipliziert, dann pq-Formel, D = 25/4 | x₁ = −4, x₂ = 1 |
| x² = 2x + 15 | umgestellt zu x² − 2x − 15 = 0, pq-Formel, D = 16 | x₁ = −3, x₂ = 5 |
| x^2 - 6x + 9 = 0 | pq-Formel, D = 0 | x₁ = x₂ = 3 (doppelte Lösung) |
| x^2 + 2x + 5 = 0 | pq-Formel, D = −4 | keine reelle Lösung; x = −1 ± 2i |
−13 ist keine natürliche Zahl, also ist x = 12: Die Zahlen heißen 12 und 13, und 12 · 13 = 156. Der Rechner nennt immer beide Lösungen – welche zur Aufgabe passt, entscheidet der Aufgabentext.
So funktioniert es
- Geben Sie die Gleichung so ein, wie sie im Heft steht: x² − 5x + 6 = 0 oder 2x^2 + 3x = 2 – Terme auf beiden Seiten, Brüche und Kommazahlen sind erlaubt. Oder nur die drei Zahlen a b c.
- Wählen Sie die Lösungsformel: Automatisch nimmt die pq-Formel, wenn vor dem x² nichts steht, sonst die Mitternachtsformel.
- Die Lösungen stehen oben, exakt und als Dezimalzahl, darunter der Rechenweg: allgemeine Form, Formel, Diskriminante, Linearfaktoren, Scheitelpunkt und Probe.
Häufige Fragen
- Wann nimmt man die pq-Formel, wann die Mitternachtsformel?
- Die pq-Formel gilt für die Normalform x² + px + q = 0: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Steht vor dem x² eine andere Zahl als 1, teilt man erst die ganze Gleichung durch a – oder nimmt gleich die Mitternachtsformel (abc-Formel) x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Beide liefern dieselben Lösungen.
- Was sagt die Diskriminante?
- Die Diskriminante D = b² − 4ac entscheidet über die Zahl der Lösungen: Ist D positiv, gibt es zwei, ist D = 0 genau eine (doppelte), ist D negativ keine reelle Lösung. Dann zeigt der Rechner die beiden komplexen Lösungen.
- Warum steht da 2 ± √3 statt einer Kommazahl?
- Weil das die exakte Lösung ist. Die Wurzel wird so weit wie möglich vereinfacht (√12 = 2√3), die gerundeten Werte stehen daneben: x₁ ≈ 0,267949 und x₂ ≈ 3,732051.
- Was passiert, wenn a = 0 ist?
- Dann ist die Gleichung nicht quadratisch, sondern linear, und der Rechner löst sie als lineare Gleichung.
- Kann ich Kommazahlen und Klammern eingeben?
- Ja. 0,5x^2 + 1,5x - 2 = 0 wird erst mit 2 multipliziert (x² + 3x − 4 = 0) und dann gelöst: x₁ = −4, x₂ = 1. Klammern wie x(x+1) = 156 oder (x+2)(x-3) = 0 und Terme auf beiden Seiten wie x² = 2x + 15 bringt der Rechner selbst in die allgemeine Form.
- Was zeigt die Probe mit dem Satz von Vieta?
- Summe und Produkt der Lösungen: x₁ + x₂ muss −b/a ergeben, x₁ · x₂ muss c/a ergeben – bei der Normalform also −p und q. Bei x² − 2x − 15 = 0: −3 + 5 = 2 und −3 · 5 = −15. Bei Wurzellösungen wie 1 ± √2 zeigt der Rechner stattdessen die gerundeten Werte.
- Wird etwas übertragen?
- Nein. Gerechnet wird in Ihrem Browser, und nichts von dem, was Sie eintippen, verlässt Ihren Rechner.
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