Calcolo con il teorema di Pitagora
Due dati del triangolo rettangolo, tutto il resto calcolato.
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Esempio
Esempio: fin dove arriva una scala di 4 m appoggiata al muro
Una scala lunga 4 m appoggiata a una parete, con il piede a 1 m dal muro, per arrivare a una grondaia o a un lampadario. La scala è l’ipotenusa, c = 4; la distanza da terra fra piede e muro è il cateto b = 1. Triangolo: Rettangolo.
- a = √(4² − 1²) = √15 ≈ 3,873: la scala tocca il muro a circa 3,87 m da terra.
- tg α = a / b = 3,873 / 1 → α ≈ 75,52°: è l’angolo tra la scala e il pavimento; β ≈ 14,48° è quello tra la scala e il muro.
- Con il piede più lontano la cima scende: a 1,2 m arriva a 3,816 m, a 1,5 m a 3,708 m.
| Dati scritti | Altezza raggiunta (a) | Angolo col pavimento (α) |
|---|---|---|
| c = 4, b = 1 | 3,873 m (√15) | 75,52° |
| c = 4, b = 1,2 | 3,816 m | 72,54° |
| c = 4, b = 1,5 | 3,708 m | 67,98° |
| c = 4, α = 75 | 3,864 m (b ≈ 1,035 m) | 75° |
Con il piede a un quarto della lunghezza, 1 m per una scala di 4 m, la scala arriva a 3,87 m e forma con il pavimento un angolo di circa 75°, quello che la regola pratica del «quarto» suggerisce.
Come funziona
- Scrivi due dati del triangolo rettangolo: due lati, oppure un lato e un angolo. a e b sono i cateti, c è l’ipotenusa, opposta all’angolo retto.
- Compaiono i lati e gli angoli mancanti, in forma esatta quando si può (√13) e in decimali.
- Sotto trovi la formula usata, l’area, il perimetro, l’altezza relativa all’ipotenusa e le proiezioni dei cateti.
Domande frequenti
- Che cosa dice il teorema di Pitagora?
- In un triangolo rettangolo il quadrato dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti: c² = a² + b². Con i cateti 3 e 4, c = √(9 + 16) = √25 = 5. Per trovare un cateto si sottrae: con c = 13 e a = 5, b = √(169 − 25) = √144 = 12.
- Come si calcolano gli angoli?
- Con la trigonometria: tg α = a / b, sen α = a / c, cos α = b / c. I due angoli acuti insieme fanno 90°: con i cateti 3 e 4, α ≈ 36,87° e β ≈ 53,13°.
- Che cosa sono le proiezioni dei cateti?
- L’altezza relativa all’ipotenusa la divide in due segmenti, p e q, le proiezioni dei cateti. Per il primo teorema di Euclide a² = c · p, quindi p = a² / c: nel triangolo 3, 4, 5 viene p = 1,8 e q = 3,2, e l’altezza è h = a · b / c = 2,4.
- E se il triangolo non è rettangolo?
- Scegli «Qualsiasi», o usa la pagina del calcolo del triangolo, e scrivi tre dati, almeno uno un lato: la calcolatrice usa il teorema dei seni e il teorema del coseno (di Carnot).
- Come si calcola l’ipotenusa?
- Si sommano i quadrati dei due cateti e si fa la radice: con 6 e 8, √(36 + 64) = √100 = 10. Scrivi i cateti in a e b e lascia vuoto c: escono anche gli angoli, α ≈ 36,87° e β ≈ 53,13°.
- Posso partire da un lato e un angolo?
- Sì, nel triangolo rettangolo bastano un lato e un angolo acuto. Con l’ipotenusa c = 4 e α = 75°: a = c × sen α ≈ 3,864 e b = c × cos α ≈ 1,035, e β = 90° − 75° = 15°.
- Viene inviato qualcosa?
- No. Tutto avviene nel tuo browser, e niente di quello che scrivi lascia il tuo computer.