Rechtwinkliges Dreieck berechnen
Zwei Werte eingeben – Seiten, Winkel und Fläche mit Rechenweg.
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Beispiel
Dachsparren und Dachneigung: halbe Hausbreite 5 m, Firsthöhe 3,5 m
Ein Satteldach über einem 10 m breiten Haus: Von der Traufe bis zur Mitte sind es waagerecht 5 m, der First liegt 3,5 m über der Traufe. Der Sparren ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Eingegeben: Seite a = 3,5 (die Höhe) und Seite b = 5 (die halbe Breite).
- c = √(3,5² + 5²) = √(12,25 + 25) ≈ 6,103 m: So lang ist der Sparren von der Traufe bis zum First, ohne Dachüberstand.
- Dachneigung: tan α = a / b = 3,5 / 5 → α ≈ 34,99°, also rund 35°. Oben am First, zwischen Sparren und Senkrechter, liegt β ≈ 55,01°.
- Dazu: Fläche 8,75 m² (eine Hälfte des Giebeldreiecks, der ganze Giebel hat 17,5 m²), Höhe auf c ≈ 2,867 m.
- Umgekehrt mit dem Winkel: Seite b = 5 und Winkel α = 30 ergeben a ≈ 2,887 m Firsthöhe und c ≈ 5,774 m Sparrenlänge.
| a (Firsthöhe) | b (halbe Breite) | c (Sparren) | α (Dachneigung) |
|---|---|---|---|
| 2,5 | 5 | ≈ 5,59 | ≈ 26,57° |
| ≈ 2,887 | 5 | ≈ 5,774 | 30° (eingegeben) |
| 3,5 | 5 | ≈ 6,103 | ≈ 34,99° |
| 5 | 5 | 5√2 ≈ 7,071 | 45° |
| ≈ 7,141 | 5 | ≈ 8,717 | 55° (β = 35° eingegeben) |
Der Sparren ist rund 6,10 m lang, das Dach hat 35° Neigung. Für den Dachüberstand kommt die Länge über die Traufe hinaus noch dazu. Bei 45° sind Höhe und halbe Breite gleich, und der Sparren ist 5√2 ≈ 7,071 m lang.
So funktioniert es
- Geben Sie zwei Werte des rechtwinkligen Dreiecks ein: zwei Seiten oder eine Seite und einen Winkel. a und b sind die Katheten, c ist die Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel.
- Die fehlenden Seiten und Winkel stehen oben – exakt, wo es geht (√13), und als Kommazahl.
- Darunter der Rechenweg mit dem Satz des Pythagoras oder mit Sinus, Kosinus und Tangens, dazu Flächeninhalt, Umfang, die Höhe auf c und die Hypotenusenabschnitte p und q.
Häufige Fragen
- Was besagt der Satz des Pythagoras?
- Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c²: Die Quadrate über den Katheten sind zusammen so groß wie das Quadrat über der Hypotenuse. Mit 3 und 4 ist c = √(9 + 16) = √25 = 5. Eine Kathete ergibt sich durch Abziehen: b = √(c² − a²), bei c = 13 und a = 5 also √144 = 12.
- Wie berechnet man die Winkel?
- Mit Sinus, Kosinus und Tangens: sin α = Gegenkathete / Hypotenuse = a / c, cos α = Ankathete / Hypotenuse = b / c, tan α = a / b. Die beiden spitzen Winkel ergeben zusammen 90°.
- Was sind p und q?
- Die Höhe h auf c teilt die Hypotenuse in die Abschnitte p (bei a) und q (bei b). Es gelten der Kathetensatz a² = c · p und der Höhensatz h² = p · q: Im Dreieck mit 3, 4 und 5 ist p = 1,8, q = 3,2 und h = 2,4.
- Geht auch ein Dreieck ohne rechten Winkel?
- Ja – wählen Sie „Beliebiges Dreieck“ oder nehmen Sie die Seite Dreieck berechnen: Mit drei Werten, darunter mindestens einer Seite, rechnet sie mit Sinus- und Kosinussatz.
- Wie berechne ich die Dachneigung?
- Die Firsthöhe als Seite a, die halbe Hausbreite als Seite b eingeben: Der Winkel α ist die Dachneigung, denn tan α = a / b. Bei 3,5 m Höhe und 5 m halber Breite sind das 34,99°. Umgekehrt ergeben Neigung α und halbe Breite b die Firsthöhe und die Sparrenlänge c.
- Wie prüfe ich, ob eine Ecke rechtwinklig ist?
- Mit der 3-4-5-Regel, die aus dem Satz des Pythagoras folgt: 3 m an der einen Wand, 4 m an der anderen abmessen – ist die Diagonale dazwischen genau 5 m, ist der Winkel 90°. Für andere Maße die beiden Längen als a und b eingeben; c ist die Diagonale, die herauskommen muss.
- Wird etwas übertragen?
- Nein. Gerechnet wird in Ihrem Browser, und nichts von dem, was Sie eintippen, verlässt Ihren Rechner.