Calcul d’un triangle quelconque
Trois valeurs, et le triangle entier.
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Exemple
Exemple : un terrain triangulaire de 120 m et 85 m formant un angle de 70°
Un terrain en forme de triangle : deux côtés mesurés, 120 m et 85 m, qui se rejoignent en formant un angle de 70°. On cherche le troisième côté, les autres angles et la surface. Saisie : a = 120, b = 85, γ = 70.
- Al-Kashi : c = √(120² + 85² − 2 × 120 × 85 × cos 70°) ≈ 121,028 m.
- Avec les trois côtés, cos α = (b² + c² − a²) / (2bc) donne α ≈ 68,7°, puis β ≈ 41,3°.
- Aire : ½ × 120 × 85 × sin 70° ≈ 4792,432 m², périmètre ≈ 326,028 m.
| Valeurs tapées | Résultat | Nature |
|---|---|---|
| a = 120, b = 85, γ = 70 | c ≈ 121,028 ; α ≈ 68,7° ; β ≈ 41,3° | acutangle |
| a = 6, b = 7, c = 9 | α ≈ 41,75° ; β ≈ 50,98° ; γ ≈ 87,27° | acutangle |
| a = 4, b = 6, c = 9 | α ≈ 20,74° ; β ≈ 32,09° ; γ ≈ 127,17° | obtusangle |
| a = 5, b = 5, c = 8 | α ≈ 36,87° ; β ≈ 36,87° ; γ ≈ 106,26° | obtusangle isocèle |
| a = 5, b = 5, c = 5 | α = β = γ = 60° | équilatéral |
Le troisième côté mesure environ 121 m et le terrain fait environ 4 792 m², soit à peu près 0,48 hectare. Pour un terrain réel, le bornage d’un géomètre fait foi.
Comment ça marche
- Tapez trois valeurs du triangle — les côtés a, b, c et les angles α, β, γ, chaque angle étant opposé au côté de même lettre. Au moins une des valeurs doit être un côté.
- Les côtés et les angles manquants s’affichent d’abord ; quand deux triangles conviennent (deux côtés et un angle qui n’est pas compris entre eux), les deux sont donnés.
- En dessous : la formule utilisée à chaque étape, l’aire, le périmètre, la hauteur relative à c et la nature du triangle.
Questions fréquentes
- Qu’est-ce que le théorème d’Al-Kashi ?
- C’est la loi des cosinus : c² = a² + b² − 2ab × cos γ. Avec deux côtés et l’angle compris entre eux, il donne le troisième côté : pour a = 8, b = 6 et γ = 60°, c = √(64 + 36 − 48) = √52 ≈ 7,211. Avec les trois côtés, il donne n’importe quel angle. Quand γ = 90°, cos γ = 0 et on retrouve Pythagore.
- Que dit la loi des sinus ?
- a / sin α = b / sin β = c / sin γ : connaissant un côté et l’angle opposé, on obtient les autres côtés à partir de leurs angles. Avec a = 4, α = 30° et β = 50°, on trouve γ = 100° et b ≈ 6,128.
- Comment trouver les angles avec les trois côtés ?
- Tapez a, b et c : la page applique Al-Kashi à l’envers, cos α = (b² + c² − a²) / (2bc), puis complète à 180°. Pour 6, 7 et 9 : α ≈ 41,75°, β ≈ 50,98° et γ ≈ 87,27°. Trois longueurs qui ne peuvent pas se refermer en triangle sont signalées.
- Pourquoi y a-t-il parfois deux triangles ?
- Deux côtés et un angle qui n’est pas compris entre eux peuvent se refermer de deux façons : c’est le cas ambigu. Avec a = 7, b = 10 et α = 30°, β vaut environ 45,58° ou 134,42° ; la page donne les deux triangles, ou indique qu’aucun n’existe.
- Comment l’aire est-elle calculée ?
- Par la moitié du produit de deux côtés et du sinus de l’angle qu’ils forment : A = ½ × a × b × sin γ. Pour un triangle de côtés 5, 7 et 8, l’aire vaut environ 17,321, comme avec la formule de Héron.
- Que signifient acutangle et obtusangle ?
- Acutangle : les trois angles font moins de 90°, comme 6, 7, 9. Obtusangle : un angle dépasse 90°, comme 4, 6, 9 (γ ≈ 127,17°). La page indique aussi rectangle, isocèle (deux côtés égaux) ou équilatéral (trois côtés égaux, trois angles de 60°).
- Quelque chose est-il envoyé ?
- Non. Le calcul se fait dans votre navigateur, et rien de ce que vous tapez ne quitte votre ordinateur.
Outils associés
◺ Calculatrice de Pythagore Deux valeurs d’un triangle rectangle, et tout le reste calculé. x² Résoudre une équation du second degré Le discriminant et les solutions exactes, rédigés comme sur une copie. = Résoudre une équation du premier degré Trouver x, chaque étape rédigée. ─ Convertisseur d'unités Écrivez-le comme vous le diriez.